Новая философская энциклопедия - свободная логика

Классические логики (стандартная логике предикатов, традиционная силлогистика) являются экзистенциальными логиками. Это обусловлено двумя моментами, проявляющимися при интерпретации указанных исчислений: 1) универсум рассуждения,  на котором осуществляется интерпретация, не должен быть пустым; 2) все термы (аналоги имен) в обязательном порядке должны иметь значения, свои референты в универсуме рассуждения. Нарушение этих условий приводит к несоблюдению целого ряда дедуктивных принципов классической логики.

В связи с указанными двумя условиями экзистенциальности различают два типа логик, свободных от экзистенциальных допущений, — универсальные логики и свободные. В универсальных логиках отказываются от первого условия экзистенциальности. В них интерпретация осуществляется на любое множество объектов, в том числе и пустое. Впервые такие логики были построены А Мостовским, хотя их основные принципы содержались уже в двух теориях, построенных Ст. Лесневским — прототетике и онтологии. В свободной логике отказываются от второго условия экзистенциальности, т. е. в них допускается использование таких сингулярных терминов, которые не имеют референтов в области интерпретации. Термин «свободная логика»  часто используют в более широком смысле, включающем и универсальные логики. Это связано с тем, что в пустом универсуме ни один сингулярный термин заведомо не имеет своих референтов. Обычно в алфавит свободной логики включается специальный одноместный логический предикат существования — «Е». Выражение Е(х) читается: «х существует». Введение предиката существования обусловлено невозможностью выразить суждения сингулярного существования в классической логике. Вообще, различают два вида суждений существования — общего и сингулярного. Суждения общего существования («человек существует») и несуществования («кентавры не существуют») выразимы соответственно предложениями классической логики человек(х) и кентавр(х). Однако предложения сингулярного несуществования («Пегас не существует») невыразимы в классической логике, так как единственная возможная форма их записи в классическом исчислении предикатов с равенством (3( = Пегас)) является всегда ложным утверждением в силу того, что в этой логике для любого сингулярного термина «а» является логическим законом формула Зх(х = а).

Другим основанием для введения предиката существования является использование в исчислении описательных имен — определенных и неопределенных дескрипций (lxA(x) — «тот самый х, который обладает свойством А», где «i» -оператор определенной дескрипции, и x(x) — «этот А», где «» — оператор неопределенной дескрипции). Если пустые сингулярные термины можно при самом построении исчисления элиминировать, т. е. не вводить их в алфавит, то в силу неразрешимости исчисления предикатов так нельзя поступить с дескрипциями, так как заранее не известно, обозначают они что-либо или нет.

В свободной логике вместо обычных правил удаления квантора общности и введения квантора существования принимаются следующие правила: для квантора общности— VxA(x), E(t) h A(t) и для квантора существования — A(t), E(t) hЭхА(х). В исчислении предикатов с равенством вместо аксиомы х = х принимается аксиома Е(х) э х = х. В историческом плане первой свободной логикой явилась силлогистика, построенная Аристотелем, а в 20 в. — онтология Ст. Лесневекого и Principia Mathematica Б. Рассела и А. Уайтхеда. В последней в рамках классической логики был описан и некоторый вариант свободной логики. Основная идея Б. Рассела состояла в том, что в подлинном смысле сингулярными именами являются лишь те, со значениями которых мы знакомы непосредственно (концепция значения по знакомству). Все же остальные сингулярные имена являются лишь сокращениями для некоторых скрытых дескрипций. В соответствии с этим он вводит в язык лишь подлинные (в его смысле) имена и разрешает образовывать определенные дескрипции по любому предикату А(х), но при этом все выражения с дескрипциями элиминируются за счет их контекстуального определения: B(ixA(x)) =,f3x(A(x) & VxVy(A(x) & А(у) з x = у) & В(х)). Т. о., предложение с дескрипцией (ix(x)) истинно, если выполнены три условия: 1) предикат А(х) не пуст, 2) предикату А(х) удовлетворяет ровно один предмет, 3) этот предмет обладает свойством В.

Другой способ ограждения классической логики от мнимых описательных имен был предложен Д. Гильбертом. Последний разрешает навешивать оператор определенной дескрипции на предикат А(х) только в случае доказательства в теории теорем о непустоте предиката x(x) и единственности того предмета, который удовлетворяет этому предикату — VxVy(A(x) & А(у) э x = у). Недостатком этого подхода является то обстоятельство, что класс терминов оказывается не рекурсивным.

Согласно принципу В. Куайна, «существовать — значит быть значением квантифицируемой переменной», — существует все, что является элементом универсума рассуждения. Это т. н. существование в универсуме. Чтобы отличить такого рода существование от реального существования, иногда свободные логики строятся с двумя кванторами общности и существования. Одни из них действуют на всем универсуме, а другие работают лишь на некоторой выделенной области, которая рассматривается как область актуально существующих предметов.

Лит.: Гладких Ю. Г. Логика без экзистенциальных предпосылок. Ростов н/Д, 1984; WhiteheadA. N„ Russell В. Principia Mathematica, v. l— 3. Cambr., 1911—1913; Гильберт Д., Бернаис П. Основания математики, т. l. M., 1979, т. 2. M., 1982; MostowskciA. On the rules of proof in the pure functional calculus of the first-order.— «The Journal of Symbolic Logic», v. 16, 1951; Schock R. Logics without existence assumptions. Stockh.. 1968.

В. А. Бочаров