Большая советская энциклопедия - фурье преобразование

Фурье преобразование (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой: , (1) Если функция f (x) четная, то ее ф. п. равно (2) (косинус-преобразование), а если f (x) — нечетная функция, то (3) (синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для четных функций , (4) а для нечетных функций . (5) В общем случае имеет место формула . (6) Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x). Например, Ф. п. f'(x) является iug (u). Если , (7) то g (u) = g1(u) g2(u). Для f (x + а) Ф. п. является eiuag (u), а для c1f1(x) + c2f2 (x) — функция c1g1(u) + c2g2(u). Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость), причем (8) (теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) ® g (u) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x), — ? < x < ?, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде . (9) При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона , находящая применение в теории тэта-функций. Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то ее Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw. Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование) Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)–1f (x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9), и даже на некоторые классы обобщенных функций (т. н. медленного роста). Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп. Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x) Стилтьеса интегралом (10) и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u1,..., un, x1,...,xn было (теорема Бохнера — Хинчина). Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д. Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.