Советский философский словарь - доказательство

Противопоставление содержат. и формального аспектов понятия Д. проявляется прежде всего в различии широкого и узкого понимания этого термина.

Д. в широком смысле это любая процедура установления истинности к.-л. суждения (наз. тезисом, или заключением, данного Д.) как при помощи нек-рых логич. рассуждений, так и посредством чувств. восприятия нек-рых физич. предметов и явлений. Именно такой характер имеют Д., обоснования большей части утверждений гуманитарных наук, а в ещё более отчётливой форме эмпирич. (экспериментальные или основанные на данных наблюдений) Д. в естеств. науках. Хотя все такие Д. включают в качестве составных частей дедуктивные фрагменты умозаключения, связывающие ссылки на опыт с доказываемым тезисом, их можно считать индуктивными, т. к. здесь имеет место переход от частных посылок к общим заключениям (индукция), совершаемый (в неявной форме) по правилам индуктивной логики.

Д. в узком смысле, слова, характерные для дедуктивных наук (логики, математики и построенных по их образцу и на их основе разделов теоретич. физики), представляют собой цепочки правильных умозаключений, ведущих от истинных посылок (исходных для данною Д. суждений) к доказываемым (заключит.) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом Д., а должна к.-л. образом устанавливаться заранее.

Последоват. развитие этой традиц. (идущей от Аристотеля) концепции Д., связанное с аксиоматическим методом, потребовало существ. её уточнения и даже пересмотра. Однако произведённый Гильбертом пересмотр понятия Д. на рубеже 19-20 вв. не был до конца последовательным. В связи с обострившимися проблемами непротиворечивости науч. теорий Гильберт выдвинул программу формализации Д. дедуктивных . теорий, предполагающую не только явное указание всех исходных понятий и исходных предложений (аксиом) каждой данной теории, но л такое же явное указание всех используемых в выводах (в частности, в Д.) этой теории логич. средств. При такой постановке вопроса проблема убедительности (правильности) Д. получает объективный характер. Оказалось возможным представить науч. теорию в виде исчисления, или формальной системы, состоящей из формул, получающихся из формул нек-рого исходного запаса (аксиом) посредством чисто механич. применения правил вывода.

Последоват. формализация понятия Д. открывает возможность передачи нек-рых функций человека электронным вычислит. машинам. Однако из этого не следует заключение о возможности сведения всех содержат. аспектов понятия Д. к формальным: правила вывода, хотя они и имеют дело с формальными объектами (формулами), формулируются на содержат. языке, а все проблемы, касающиеся природы формальных исчислений в целом, ставятся и решаются чисто содержат. средствами (см. Метатеория). Именно эти содержат. рассуждения (и содержат. Д.) составляют предмет самой теории Д.

Более того, было доказано, что задача полной и одновременно непротиворечивой формализации даже таких относительно простых математич. теорий, как арифметика (теория чисел), в принципе неосуществима, так что в них всегда имеется нек-рый «неформализуемый остаток» (К. Гёдель, 1931). Наконец, никакая формализация дедуктивных теорий не снимает проблемы их интерпретации, т. е. соотнесения с нек-рой описываемой ею и внешней для неё реальности, адекватность к-рого только и может быть в конечном счёте обоснованием истинности теории в целом. См. также Интуиционизм, Конструктивное направление.