Большой толковый словарь русского языка - махать

 1. чем. Делать движения, взмахи в воздухе руками (обычно при прощании илиприветствии, призыве, отказе от чегол. и т.п.). М,платком, флажками, шапкой. М. участникам фестиваля, спортсменам, провожающим. М. теплоходу, вслед голубям. М. из окна, с холма. М. лопатой (разг.; работать таким инструментом, копая,раскидывая и т.п.). М. руками и ногами (разг., категорически отказываться от чегол.). | О птицахили животных. М. крыльями. М. хвостом.

 2. наст.:аю, аешь. Разг. Двигаться, проходя большое расстояние. Сколько ещё м. до станции? Поторопись,нам ещё махать и махать (усидят.). < Махнуть(см.).Махёние, я; ср. Ответить на приветствие маханием.